Từ khóa : Con số – Trực giác – Gonseth (Ferdinand), Trích đoạn

«CON SỐ LÀ MỘT PHẨM CHẤT VẬT LÝ
CỦA CÁC NHÓM VẬT THỂ» 
(1936)

Tác giả : Ferdinand Gonseth*
Người dịch: Nguyễn Văn Khoa

*

Về Ferdinand Gonseth và thích nghi luận (idoneism-e) nói chung, xem phần giới thiệu tổng quát và các chú thích liên quan ở bản dịch «Lôgic Học Như Vật Lý Học Về Bất Kỳ Đối Tượng Nào» trên cùng trang mục này. Dưới đây, chúng tôi chỉ đề cập thêm về vai trò của trực giác ở Gonseth, trong tương quan với I. Kant và L. E. J. Brouwer.

Ở trường hợp thứ nhất, F. Gonseth cũng dùng lại thuật từ «hình thức trực quan» của I. Kant, nhưng ông không chấp nhận ý tưởng là có những «hình thức trực quan tiên thiên»; ở ông, mọi hình thức trực quan (vật thể, thời gian, không gian, thực tiễn, hành động) đều phụ thuộc vào kinh nghiệm. Ở trường hợp thứ hai, Gonseth cũng nhấn mạnh trên vai trò của trực giác trong toán học như L. E. J. Brouwer, nhưng không phải như nền tảng tuyệt đối, mà chỉ như một phần của tác động qua lại giữa tư duy và hiện thực. Thực ra, ông bênh vực một thứ «triết lý mở» như đã nói, nơi tri thức của chúng ta luôn trăn trở tích cực, giữa sự hình thức hoá trừu tượng và kinh nghiệm trực quan cụ thể.

*

Ý niệm con số dựa trên một khả năng của hữu thể tinh thần ta: cái khả năng ghi nhận sự lặp lại của một ấn tượng cảm quan, một hành động hoặc thậm chí một ý định, nói tóm tắt, ghi nhận sự lặp lại một khoảnh khắc của ý thức. Cách trừu tượng nhất để hình dung một khoảnh khắc ý thức thuộc loại này có lẽ tương ứng với ý niệm về tính duy nhất hai mặt (bi-unicité), cái ý niệm dựa trên nó L. E. J. Brouwer* đã xây dựng trực giác về các con số, và là cái ý niệm mà ta có thể thấy được «thể hiện» trong cái khoảnh khắc thoáng qua khi một ấn tượng nhường chỗ cho ký ức về nó. Mặt khác, sự ghi nhận này không phải là một hiện tượng tinh thần cơ bản. Nơi người trưởng thành và trẻ em ở một độ tuổi nhất định, cái khung ít nhiều giống hệt nhau sẵn sàng lưu giữ dấu vết của sự lặp lại, chất sáp tinh thần nơi mũi dao của ý thức để lại các dấu vết mà trí nhớ sẽ bảo vệ, là dạng trực quan về thời gian. (...)

Một lần nữa, sự ghi nhận này không phải là một hiện tượng đơn giản. Chúng ta phân biệt ít nhất hai khoảnh khắc bổ sung cho nhau và thậm chí, theo một nghĩa nào đấy, là trái ngược nhau. Một mặt, để được tính tới, những «sự vật» lần lượt đến với ý thức của ta phải được thừa nhận là, bằng cách này hay cách khác, có cùng bản chất. Điều này có thể là do chúng cùng hướng tới một sự đồng nhất tăng dần: «ba cảm giác» hay «ba âm thanh» hay «ba âm chuông» hay «ba âm của cùng một cái chuông», v. v...; hoặc hướng tới một sự đồng nhất giảm dần: «hai cuốn sổ màu xanh», «hai cuốn sổ», «hai đồ vật», v. v... Như vậy, sự liệt kê được đi kèm – và có lẽ một cách không thể tách rời – bằng một sự điển hình hóa, hoặc phân bổ thành các tập hợp và tập hợp con, sao cho hai phần tử của cùng một tập hợp có thể được ghi vào bộ nhớ như tương đương với nhau.

Mặt khác, việc khắc ghi vào trí nhớ được thực hiện thông qua một loạt hình ảnh hoặc ấn tượng (âm thanh, hình ảnh, xúc giác, v. v...), chúng phải có khả năng được nhận dạng riêng lẻ, và do đó, phải có thể được nhìn thấy như hoàn toàn khác nhau. Những hình ảnh này có thể được cung cấp bởi các ngón tay, hoặc bởi các vật thể ở những vị trí khác nhau, hoặc bởi các từ một, hai, ba, v. v., hoặc bởi các ký hiệu 1, 2, 3, v. v..., hoặc bởi bất kỳ một chuỗi biểu tượng nào khác mà chúng ta muốn. Tóm lại, để được tính tới, các vật thể phải được xem vừa như đồng nhất, vừa như khác biệt !    

Những nhận xét này cho thấy rõ ràng rằng, trong sự liệt kê thực hiệu, dạng thức thời gian không can thiệp vào một cách cô lập; các hình thức khác, đặc biệt là dạng thức không gian, hợp tác một cách hiệu quả nhất. (...)

Ngoài ra còn có một nhận xét quan trọng nữa phải trình bày: đó là ta chỉ biết cách đếm một số lượng vật thể nhất định, nếu chúng ta biết đặt chúng theo một thứ tự nối tiếp nhất định, trong đó mỗi vật thể chỉ can dự vào một lần. Và trật tự này phải được tinh thần đưa vào hạng mục cần liệt kê. Thí nghiệm sau có thể giúp ta tự thuyết phục về điều trên: hãy xếp năm con tốt (pions) giống hệt nhau thành một hàng thật đều đặn, rồi yêu cầu một đứa nhỏ đếm chúng, bằng cách chạm tay vào chúng. Hãy thừa nhận rằng đứa trẻ này đã biết cách lặp lại dãy số từ một đến năm mà không mắc lỗi, tuy nó chỉ chạm vào những con tốt một cách ngẫu nhiên, chứ không nhận biết thứ tự đã chuẩn bị sẵn mà lẽ ra nó đã phải tôn trọng, và không nhớ nó đã chạm tay vào những con tốt nào rồi. Tóm lại, nó vẫn chưa biết trật tự nối tiếp là gì, thứ tự tuyến tính là gì. Thật là lạ lùng khi phải xác nhận rằng trí nhớ đã ghi nhận cái trật tự ấy trước khi tinh thần quan niệm nó.

Điều nói trên thường liên quan đến loại số thứ tự; nhưng rõ ràng là những nhận xét tương tự cũng áp dụng cho loại số đếm. Có một thực tế kinh nghiệm vượt ra ngoài khuôn khổ của sự đánh số đơn thuần: đấy là khi phải đếm, nghĩa là đánh số một nhóm vật thể, tôi có thể tùy tiện thay đổi thứ tự và vị trí của những vật này: tôi vẫn sẽ cứ luôn luôn nhận được cùng một kết quả chung cuộc. Như vậy, các tập hợp hữu hạn có một đặc trưng bất biến đối với mọi hoán vị ta có thể làm: đấy là số lượng của chúng. Và ở đây có một thao tác tư tưởng thực sự cần được nói ra, chẳng hạn như số lượng của một vật thể nào đấy là sáu, bởi vì chúng có thể được đánh số (đếm) từ một đến sáu.                                                  

Ta cũng có thể nói rằng ý niệm số đếm được đặt trên khả năng thiết lập giữa các số thứ tự và các đối tượng thuộc một phạm trù hữu hạn một tương quan hoàn toàn đơn ứng (univoque), được bảo toàn xuyên suốt mọi xáo trộn của các đối tượng được xem xét. Khả năng này chứa đựng một sự kiện kinh nghiệm không thể quy giản* được. Mặt khác, cũng phải lưu ý rằng chúng ta chỉ gọi là «đối tượng» những «vật thể» – những thứ vốn thể hiện cái thuộc tính vừa được nói tới – sao cho các ý niệm về đối tượng và con số hiện ra như được liên kết trong cảm nhận trực giác.

Quan sát sự phát triển của ý niệm về con số nơi trẻ em xác định hoàn toàn mọi điều chúng ta vừa nói. Điều đáng chú ý đầu tiên là sự thoát khỏi những giá chống cho trực giác ở đứa trẻ là khó khăn tới mức nào. Ví dụ, con số "ba" vẫn gắn liền với cảm nhận ngón cái, ngón trỏ và ngón giữa duỗi ra ở tư thế biểu thị mà ta đều biết; với hành động phát âm lần lượt các từ: một, hai, ba; với ký ức về một nhóm ba vật thể quen thuộc; và sau đó với âm thanh của từ ba, với hình ảnh của các ký hiệu 3 hoặc III, v. v... Lý trí chỉ dần dần trừu tượng hóa từ đấy cái ý tưởng con số thuần túy, và để rơi vào quên lãng mọi thứ không liên quan tới chức năng liệt kê của nó. Hơn nữa, ai có thể khẳng định rằng một ý niệm trừu tượng sẽ tiếp tục tồn tại, nếu mất cái giá chống liên tục cho tính cụ thể của nó?

Nếu ta quay trở lại xa hơn nữa trong quá trình phát triển các khả năng trí tuệ của trẻ em, trước cả cái thời điểm mà ý niệm số hai dường như đã được phân biệt rõ rệt, thì còn học được nhiều hơn nữa. Có vẻ như quan niệm về đơn vị, trong sự đối lập với cái nhiều, đã đi kèm và hoàn tất nỗ lực trừu tượng dẫn đến quan niệm về sự thống nhất của đối tượng thông qua sự đa tạp của các khía cạnh của nó và những ấn tượng liên quan. Mặt khác, để vật thể có thể được xác định là đồng nhất với chính nó trong các chuyển động, hoặc bất chấp các chuyển động của đứa trẻ đang quan sát nó, thì nó phải có khả năng được định vị đối với đứa trẻ. Như vậy, đứa trẻ phải có sẵn những yếu tố đầu tiên của nhóm thử nghiệm các chuyển động của mình.

Tóm lại, dường như chúng ta có thể phân biệt được trong quá trình phát triển của đứa trẻ một giai đoạn rất sơ khai, khi cả sự đối lập trước/sau, ý niệm đối tượng, ý niệm đơn vị và số nhiều, lẫn ý niệm không gian đều chưa thoát khỏi bào thai. Rồi trong liên hệ mật thiết với nhau, chúng xuất hiện và tự định hình qua một tiến trình sinh thành khá chậm chạp, sản sinh ra cùng một lúc, nào là ý niệm đối tượng, ý niệm đơn vị và đa số, cho đến các dạng trực quan của thời gian và không gian, đến ý tưởng thứ tự nối tiếp trong thời gian, và ý tưởng cấu hình trong không gian.

Như vậy, ta thấy rằng sự phát sinh ra phép đếm số là một hiện tượng tinh thần phức tạp như thế nào, và chúng ta còn cách xa định nghĩa khô khan và hời hợt sau đây đến đâu:

Tất cả các con số đều được suy ra từ đơn vị, bằng thao tác chuyển mọi con số, bất kỳ là con số nào, sang con số theo ngay sau nó.

Hơn nữa, một định nghĩa thuộc loại này, trái với thông kiến, lại định nghĩa cái đơn giản hơn bằng cái phức tạp hơn nó: bởi vì, để quan niệm sự chuyển tiếp từ 1 sang 2, và từ 5 sang 6, như sự lặp lại của chỉ và cùng một thao tác, đứa trẻ phải đạt tới một mức độ trừu tượng mà nó còn cách rất xa khi mới học cách sử dụng sáu con số đầu tiên.

Rốt cuộc, con số xuất hiện ở giai đoạn trực quan như một đặc tính được tinh thần mang theo trong một tập hợp ấn tượng rất phức tạp, ít nhiều được nhận thức rõ ràng, xuất phát từ tác động của đối tượng lên chủ thể, và ảnh hưởng của chủ thể trên đối tượng. Đặc tính này có tính thống nhất, sơ đồ hoá và phù hợp một cách tuyệt vời cho mục đích của hành động. Nó có thể so sánh được với bất kỳ phẩm chất lý tính nào khác, chẳng hạn như lớn, màu vàng hoặc nặng. Một nhóm vật thể có đặc tính «ba» chẳng hạn, như một trong số chúng có đặc tính «đỏ»  hoặc đặc tính «trong suốt».

Tóm lại: trong nghĩa nguyên thủy và vai trò trực quan của nó, con số là một phẩm chất vật lý của các nhóm vật thể.

Ferdinand Gonseth,
Les mathématiques et la réalité,
Paris, Alcan, 1936, tr. 122-127.