Vì hạnh phúc là sự an tâm, vì sự yên tâm lâu bền phụ thuộc vào lòng tin mà chúng ta có được trước tương lai, và vì lòng tin ấy dựa trên nền tảng của thứ khoa học mà ta phải có về bản chất của Thượng Đế...

SŌKRATĒS : Bây giờ ta thử đi xa hơn một bước nữa, xem bạn có nghĩ như tôi không nhé. Chúng ta nói là có sự ngang bằng – không phải là sự bằng nhau giữa khúc gỗ này với khúc gỗ kia, hòn đá này với hòn đá nọ...

Trung tâm sớm nhất của nền văn minh Hy Lạp thực sự nằm ở các thuộc địa (Milētos, Ephesos) trên bờ biển phía tây của Tiểu Á, nơi nó đã phát triển nhanh hơn tại quê hương chính địa...

Về mặt lịch sử, toán học và lô-gic học là hai ngành hoàn toàn khác biệt. Toán học được kết nối với khoa học, lô-gic học với tiếng Hy Lạp. Nhưng cả hai đều đã phát triển trong thời hiện đại: lô-gic học trở thành toán học hơn, và toán học trở thành lô-gic học hơn...

Trong số các «quan hệ» lô-gic khác nhau, quan hệ toán học giữ một vị trí nổi bật, và chúng ta phải quan niệm tương quan giữa Lô-gic học với Toán học như thế nào là cả một vấn đề. Với sự xuất hiện của Toán lô-gic (Logistique) Lô-gic học còn tiến gần Toán học hơn nữa...

Khi chúng ta xem xét một đối tượng, tự thân và trong bản chất của nó, chứ không tập trung trí tuệ trên cái gì nó có thể là đại diện, thì ý tưởng mà chúng ta có về nó là ý tưởng về một sự vật, như ý tưởng về Trái Đất, Mặt Trời...

Mặc dù là người theo hình thức luận và là nhân vật chính trong nhóm Bourbaki*, Jean Dieudonné không loại trừ một loại trực giác nhất định trong toán học, như được phác hoạ trong trích đoạn dưới đây...

Không chỉ Platōn và Aristotelēs mà cả mọi nhà toán học ngày nay đều chủ yếu giữ lại nơi những đối tượng toán học cái tính cách vượt thời gian của chúng: «các định lý của Eukleidēs ngày nay vẫn còn hiệu lực như 2300 năm trước». Như vậy, phải chăng là toán học không có một kích thước thời gian nào...

Các khía cạnh trực quan của Toán học được liên kết với những ấn tượng khác nhau của các giác quan mà chúng ta có, và với những ký ức về chúng. Điều quan trọng cho sự nảy nở của hoạt động tiền-toán-học là ký ức về những đối tượng, ở đó một tính chất chung có thể được cảm nhận, cho dù tính chất ấy chỉ được thực hiện một cách sơ sài. Hơn nữa, sự không hoàn hảo của các giác quan của ta đôi khi còn tạo ra ảo tưởng rằng tính chất ấy là biểu hiện trung thành của hiện thực...

Lô-gic học thường được định nghĩa là thứ khoa học liên quan tới các quy luật của tư duy. Đây là một lối đặc trưng hóa mơ hồ, trừ phi chúng ta phân biệt quy luật tư duy của tâm lý học với quy luật tư duy của lô-gic học. Quá trình tư duy hiện thực không phân tích rõ rệt khác biệt này...

Mọi tri thức, mọi khoa học và nghệ thuật đều bắt đầu từ nhận thức rằng những sự vật bình thường, quen thuộc đều có thể mang nhiều hình thức[2] khác nhau. Kinh nghiệm sớm nhất của chúng ta về tự nhiên buộc ta lưu ý liền tới sự kiện này: chúng ta thấy nước đông đặc thành một khối trong mờ, tuyết từ trên trời rơi xuống chuyển thành nước ngay trước mắt...

Ba trường phái tư tưởng được lựa chọn vì tầm quan trọng và tầm ảnh hưởng của chúng thường được phân biệt với các tên là Lô-gic Luận (Logistic), Hình Thức Luận (Formalistic), và Trực Giác Luận (Intuitionist), với các nhà diễn giải đương thời nổi tiếng nhất của chúng là Bertrand Russell*, David Hilbert* và Luitzen Brouwer*, kể theo thứ tự. Các học thuyết của họ khác nhau nhiều, về phương pháp tiếp cận vấn đề cũng như trong những kết luận...

Có một lô quan điểm triết học về bản chất tri ​​thức và sự tiếp thu tri ​​thức nói chung, và tri ​​thức toán học nói riêng[2]. Hãy xem xét bốn quan điểm phổ biến nhất. Trước tiên là chủ nghĩa kinh nghiệm, theo đó mọi tri ​​thức của chúng ta đều là những thu nhận từ kinh nghiệm; đối với những người theo chủ nghĩa kinh nghiệm, không có những chân lý tất yếu...

Trong trích đoạn dưới đây, Henri Poincaré đã đề cập chính xác tới một lý thuyết về suy luận toán học, theo đó, khi chúng ta nghiên cứu tư tưởng toán học «nơi nó vẫn còn là toán học thuần túy, nghĩa là trong số học», thì chúng ta sẽ thấy, «ở mỗi bước chân», một phương thức nhất quán, và đấy là một phép quy nạp thực sự...