|
LM : 15-10-2025 |
C1 |
|
Từ khoá : Giáo dục (Chương trình) — Giám hộ (Tầng lớp) — Số học — Hình học – Thế giới cảm giác — Thế giới khả tri — Platōn, Trích đoạn |
GIÁ TRỊ CỦA SỐ HỌC VÀ HÌNH HỌC
TRONG GIÁO DỤC
(khg 387-370 tCn)
Tác giả: Platōn*
Bản tiếng Anh: Benjamin Jowett*
Bản tiếng Pháp: Victor Cousin*
Người dịch: Nguyễn Văn Khoa
[...]
GLAUKŌN : Thật thế. Nếu loại bỏ cả phần thể thể dục lẫn phần văn hoá*[1], thì đâu còn lại cái gì nữa, một khi mọi ngành kỹ thuật đều bị xem là thấp kém[2]?
SŌKRATĒS : Ừ, có thể chẳng còn gì trong các môn học đặc trưng của ta cả. Vậy thì chắc chúng ta phải chọn một cái gì đó không đặc biệt là của ta, nhưng có những ứng dụng phổ quát mà thôi.
GLAUKŌN : Nó có thể là môn gì vậy?
SŌKRATĒS : Một môn gì đó mà chẳng những mọi ngành nghề kỹ thuật [522c] và khoa học[3], nhưng cả mọi thao tác trí tuệ nói chung nữa cũng đều sử dụng. Môn mà mọi người đều phải học trước tiên trong số những yếu tố phải học.
GLAUKŌN : Ông nói môn gì thế?
1 – SỐ HỌC
a] Lợi ích tổng quát của số học
SŌKRATĒS : Môn học chỉ có đối tượng nhỏ là phân biệt một, hai, ba — nói tóm gọn, môn học về tính toán và con số[4]. Không phải mọi ngành kỹ thuật và khoa học nhất thiết đều phải có chúng ư?
GLAUKŌN : Chắc chắn!
SŌKRATĒS : Do đó, cả nghệ thuật chiến tranh cũng phải có, đúng không?
GLAUKŌN : Nhất thiết phải như vậy.
SŌKRATĒS : Cho nên, mỗi khi xuất hiện trong các bi kịch, Palamēdēs [522d] đều cố chứng minh rằng Agamemnōn là kẻ không phù hợp tới mức lố bịch với vai trò một thống tướng[5]. Cậu có để ý là Palamēdēs tuyên bố rằng ông ta đã phát minh ra con số, nhờ đó đã đếm được số chiến thuyền, đã sắp xếp số chiến binh vào đội ngũ trước cổng thành Ilion [Troia, Troy, Troie] như thế nào không? Có thấy những điều ấy ngụ ý rằng chúng chưa bao giờ được đếm trước đó, nghĩa là Agamemnōn không có cả cái khả năng đếm hạm đội và quân đội của mình! — nhưng làm thế nào ông ta có thể, nếu không biết chi về lượng, về số cả? Nếu sự thật quả là như thế, thì Agamemnōn là thứ tướng lĩnh gì vậy, theo cậu?
GLAUKŌN : Tôi phải nói là rất kỳ cục mà thôi, nếu đúng như thế.
SŌKRATĒS : [522e] Để kết luận, ta phải đặt định rằng khoa học về con số và tính toán là thiết yếu cho mọi tướng lĩnh chăng?
GLAUKŌN : Chắc chắn, nếu ông ta muốn có chút hiểu biết gì, dù nhỏ nhất về chiến thuật, chiến lược, và tổ chức quân đội — hoặc thậm chí, có lẽ phải nói chỉ để nên người mà thôi.
SŌKRATĒS : Đúng đấy. Bây giờ, tôi muốn biết liệu cậu có cùng một suy nghĩ như tôi về khoa học này hay không?
GLAUKŌN : Nhưng ông quan niệm nó như thế nào đã?
SŌKRATĒS : Đối với tôi, [523a] dường như đây là thứ học thuật thuộc loại hình chúng ta đang tìm kiếm. Nó dẫn ta đến trí tuệ thuần tuý một cách tự nhiên, nhưng lại hầu như nó không bao giờ được sử dụng đúng cách; bởi nếu được sử dụng thực sự đúng đắn, nó hoàn toàn có khả năng đưa ta lên thế giới của hữu thể[6].
GLAUKŌN : Giải thích ý của ông rõ hơn đi
b) Số học giúp ta phân biệt những nhập nhằng của cảm giác
SŌKRATĒS : Tôi sẽ làm. Nhưng cậu cũng phải tham gia nữa chứ. Mỗi khi tôi cố phân biệt trong đầu thứ tri thức nào có năng lực dẫn đến mục đích chúng ta tìm kiếm, thì cậu phải cùng xem xét với tôi, dù để đồng ý hoặc phản bác; như thế chúng ta mới có bằng chứng rõ ràng hơn, rằng số học chẳng hạn, có thứ năng lực ấy như tôi nghĩ.
GLAUKŌN : Được rồi. Chỉ cho tôi thấy đi.
SŌKRATĒS : Ý của tôi là [523b], nếu cậu nhìn kỹ, có hai loại đối tượng của giác quan; loại thứ nhất không hề mời gọi ta suy nghĩ, bởi vì chỉ cần sử dụng giác quan là đủ để nhận thức chúng; trong khi loại thứ hai không ngừng kêu gọi ta nghĩ suy, bởi vì ở trường hợp các đối tượng này, giác quan không mang lại cho ta điều gì đáng tin cậy cả.
GLAUKŌN : Khoảng cách xa gần và cách thức tô vẽ sáng tối, đậm nhạt khác nhau... ảnh hưởng tới giác quan của ta. Ông muốn nói chuyện này chứ gì?
SŌKRATĒS: Không hề. Cậu không hiểu ý tôi.
GLAUKŌN: Vậy ý ông là sao?
SŌKRATĒS: Khi nói là có loại đối tượng không mời gọi suy nghĩ, ý của tôi là vì chúng không cho ta hai cảm giác trái ngược nhau cùng một lúc. Còn những cái làm như vậy [523c] là loại đối tượng khiến ta phải suy nghĩ, bởi vì, trong trường hợp sau, khi cảm giác tiếp cận đối tượng, dù ở khoảng cách xa hoặc gần, nó không cho ta ý tưởng đối tượng là cái này hơn là cái đối lập với nó[7]. Cậu sẽ hiểu ý tôi rõ ràng hơn với ví dụ này: đây là ba ngón tay — ngón cái, ngón trỏ và ngón giữa.
GLAUKŌN : Rồi. Ông nói tiếp đi.
SŌKRATĒS : Và cứ cho là ta đang nhìn chúng rất gần. Bây giờ hãy quan sát với tôi nhé.
GLAUKŌN : Quan sát cái gì?
SŌKRATĒS : Mỗi ngón tay đều xuất hiện như một ngón tay, chẳng là gì khác cả — [523d] cho dù ta nhìn nó ở giữa hay ở đầu ngón, cho dù nó là trắng hoặc đen, béo hay gầy. Trong mọi trường hợp, không ai buộc phải tự hỏi trí tuệ của mình phải chăng đây là ngón tay hay ngón tay là cái gì, bởi vì thị giác chưa bao giờ cho nó thấy cùng một lúc rằng ngón tay là một cái gì khác hơn là ngón tay hết.
GLAUKŌN : Thật vậy.
SŌKRATĒS : Và do đó, đúng như tôi đã nói và như chúng ta có thể trông đợi, chẳng có gì ở đây mời gọi hay kích thích trí tuệ của ta cả.
GLAUKŌN : [523e] Đúng, chẳng có gì hết.
SŌKRATĒS : Nhưng về độ lớn hoặc nhỏ của các ngón tay thì sao? Liệu thị giác có khả năng nhận thấy sự khác biệt, khi ta nhìn ngón này ở giữa ngón, và ngón kia ở đầu ngón không? Và cũng tương tự như vậy, liệu xúc giác có cảm nhận được một cách thoả đáng độ dày hay độ mỏng, độ mềm hay độ rắn của ngón tay chăng? Còn các giác quan khác nữa, liệu chúng có cho ta những báo hiệu thỏa đáng về các vấn đề liên quan tới nhiệm vụ của chúng không? Phải chăng cách thức hoạt động của mỗi giác quan đều có tính nước đôi về mặt liên quan tới nó – nghĩa là cái giác quan dành cho sự cảm nhận phẩm chất cứng [524a] nhất thiết cũng dành cho sự cảm nhận phẩm chất mềm, và thông báo với trí tuệ rằng cùng một đối tượng cho nó cảm nhận là rắn và mềm*?
GLAUKŌN : Ông đặt vấn đề đúng đấy.
SŌKRATĒS : Và trong trường hợp này, phải chăng trước sự thông báo trái ngược của cùng một cảm quan, trí tuệ phải thấy bối rối[8], và phải tự hỏi về một đối tượng vừa rắn vừa mềm? Cũng vậy, trong cảm thức về nhẹ và nặng, nó phải hiểu thế nào là nhẹ, thế nào là nặng đây, nếu cảm giác nhẹ cũng là nặng, và cảm giác nặng cũng là nhẹ?
GLAUKŌN : [524b] Đúng thế. Những báo cáo mà trí tuệ nhận được này rất là kỳ cục và đòi hỏi phải được giải thích.
SŌKRATĒS : Đâu thể nào khác được. Trước những bối rối này, tự nhiên là tinh thần* phải cầu cứu tới lý luận và tính toán, để có thể thấy những báo cáo mà nó nhận được ấy là về một hoặc hai vật thể chứ.
GLAUKŌN : Đúng thế.
SŌKRATĒS : Và nếu chúng hóa ra là hai, thì có phải là mỗi vật là một và tách biệt với vật kia không?
GLAUKŌN : Chắc chắn rồi.
SŌKRATĒS : Và nếu mỗi cái là một vật, và cái này với cái kia là hai vật, thì trí tuệ phải quan niệm hai vật ấy như ở trạng thái tách rời, bởi nếu chúng là không thể tách biệt, thì chúng chỉ có thể được quan niệm như một [524c] chứ không thể nào là hai vật được, đúng không?
GLAUKŌN : Chính xác.
SŌKRATĒS : Và mắt chắc chắn đã từng nhìn thấy cả cái nhỏ lẫn cái lớn, nhưng một cách lẫn lộn[9] chứ không phân biệt.
GLAUKŌN : Quả có như thế.
SŌKRATĒS : Trong khi ở trí tuệ thì sự suy nghĩ, với ý định rọi sáng mọi hỗn loạn, buộc phải nhìn vào cái nhỏ như tách biệt với cái lớn, chứ không lẫn lộn như ở thị giác.
GLAUKŌN : Đúng thế.
SŌKRATĒS : Phải chăng đấy là điểm khiến ta bắt đầu tự hỏi thế nào là lớn, thế nào là nhỏ?
GLAUKŌN : Chính xác là như vậy.
SŌKRATĒS : Và cũng từ đấy mà sinh ra sự phân biệt giữa cái thấy và cái biết, phải không?
GLAUKŌN : [524d] Quá đúng.
SŌKRATĒS : Đấy chính là ý của tôi ban nãy, khi nói về những ấn tượng mời gọi trí tuệ, hoặc ngược lại — những ấn tượng đồng thời với các cảm nhận đối lập thì mời gọi ta suy nghĩ; những ấn tượng không đồng thời thì không, bởi chúng không bao hàm các cảm nhận đối lập này.
GLAUKŌN : Bây giờ tôi hiểu rồi. Đồng ý với ông thôi.
c) Số học đưa ta từ thế giới cảm giác lên thế giới khả tri
SŌKRATĒS: Vậy thì theo cậu, đơn vị và con số thuộc về thứ nào trong hai tập hợp trên?
GLAUKŌN: ... Tôi không biết.
SŌKRATĒS: Suy nghĩ một chút đi, cậu sẽ thấy rằng những gì ta vừa nói trước đây sẽ cho cậu câu trả lời. Bởi vì nếu cái đơn vị có thể được nhận thức thích đáng bằng thị giác, hay bằng bất kỳ một giác quan nào khác, thì sẽ không có gì thu hút ta [524e] về thế giới của hữu thể* cả, như chúng ta đã nói ban nãy trong trường hợp ngón tay. Nhưng khi một số mâu thuẫn luôn luôn có mặt, khiến cho cái đơn vị có vẻ là trái ngược với một vật thể, và bao hàm ý tưởng nhiều sự vật, thì sự suy nghĩ bắt đầu thức giấc trong ta, rồi vì bối rối* muốn đi tới một quyết định, trí tuệ phải tự hỏi cái đơn vị tự thân[10] (đơn vị tuyệt đối) là gì. Đấy chính là cái cách thức qua đó nỗ lực tìm hiểu về cái đơn vị có năng lực lôi cuốn và chuyển trí tuệ về hướng phải suy nghĩ về [525a] hữu thể* bất biến.
GLAUKŌN: Và chính xác thì mâu thuẫn này đã xảy ra trong nhận thức về cái đơn vị bằng mắt, bởi vì chúng ta thấy cùng một vật vừa là một vừa là nhiều* trong vô số trường hợp.
SŌKRATĒS: Đúng. Và điều gì đúng cho một cũng phải đúng cho mọi con số khác, dù là số nào...
GLAUKŌN: Chắc chắn.
SŌKRATĒS: Số học và sự tính toán đều có đối tượng là con số, phải không?
GLAUKŌN: Phải.
SŌKRATĒS: Và do đó chúng [525b] dẫn trí tuệ đến chân lý, đúng không?
GLAUKŌN: Vâng. Một cách hoàn hảo.
SŌKRATĒS: Vậy thì đây là thứ tri thức có thể được xếp vào loại chúng ta đang tìm kiếm cho một sử dụng kép, vừa quân sự vừa triết học. Vì kẻ làm chiến tướng phải biết số học, nếu không ông ta sẽ không biết sắp xếp quân đội của mình ra sao; và triết gia cũng vậy, nếu ông ta muốn thoát khỏi thế giới có sinh có tử để vươn lên cõi của hữu thể*.
GLAUKŌN: Công nhận.
SŌKRATĒS: Và giám hộ của Nhà nước ta phải vừa là chiến tướng, vừa là triết gia, phải không nào?
GLAUKŌN: Chắc chắn.
SŌKRATĒS: Vậy thì đây là một loại tri thức mà luật pháp có thể quy định như môn học bắt buộc một cách phù hợp. Và chúng ta phải cố gắng thuyết phục những người sẽ là [525c] thành phần cao cấp chính của Nhà nước ta học số học, không phải một cách hời hợt, mà chuyên cần và liên tục, cho đến khi họ thấy được bản chất của những con số chỉ bằng trí tuệ, nhưng không phải trong mục đích mua bán kiểu thương gia hay kẻ tiểu thương, mà một lần nữa, nhằm vào những áp dụng quân sự, và còn xa hơn thế, giúp cho linh hồn phương tiện dễ dàng nhất để từ thế giới của những biến dịch vươn lên cõi vĩnh hằng của chân lý và hữu thể*.
GLAUKŌN: Thật là tuyệt vời.
SŌKRATĒS: Đúng thế. Và bây giờ, một khi đã nói về cái khoa học này, [525d] tôi còn phải nói thêm rằng tự thân nó là quyến rũ tới đâu! và có bao nhiêu cách nó hữu ích cho mục đích mong muốn của chúng ta, nếu được theo đuổi theo tinh thần của triết gia, chứ không phải của con buôn!
GLAUKŌN: Ông muốn nói gì thêm nữa vậy?
SŌKRATĒS: Ý của tôi là số học có một hiệu quả rất lớn như đã được chỉ ra. Nó mạnh mẽ đẩy linh hồn lên một không gian cao hơn, buộc trí tuệ phải lý luận về con số như chúng tồn tại tự thân, nghĩa là một cách trừu tượng, và chống lại việc đưa những vật hữu hình, có thể sờ mó được vào thao tác tính. Cậu vẫn luôn luôn biết mà! [525e] Các bậc thầy của số học đều kiên quyết đẩy lùi và chế giễu bất cứ ai nỗ lực chia cắt chính cái đơn vị tuyệt đối* khi tính toán, và nếu đối phương phân chia[11], thì họ nhân lên, chăm lo sao cho cái đơn vị sẽ tiếp tục là một chứ không mất hút trong những phân số.
GLAUKŌN: Đúng thế.
SŌKRATĒS: Bây giờ, [526a] giả sử có người nói với họ: «Hỡi các nhà toán học đáng phục, những con số tuyệt vời trong lý luận của quý vị, nơi có cái đơn vị như quý vị đòi hỏi, là gì vậy? Chúng ở đâu[12], những đơn vị như quý vị giả định, hoàn toàn bình đẳng, bất biến và không thể phân chia»?, thì liệu họ sẽ trả lời thế nào hả Glaukōn?
GLAUKŌN: Theo tôi nghĩ, họ sẽ trả lời rằng điều họ đang gọi là những con số không phải là đối tượng của giác quan, mà chỉ có thể được nhận thức bằng tư duy mà thôi.
SŌKRATĒS: Như vậy, cậu có thấy rằng thứ tri thức này có thể thực sự được xem là thiết yếu không, vì rõ ràng là nó đòi hỏi [526b] việc sử dụng trí tuệ thuần túy, nhằm đạt tới hiểu biết chân lý thuần khiết?
GLAUKŌN: Thấy chứ. Đấy là một đặc trưng rõ rệt của nó.
SŌKRATĒS: Và tôi nói thêm rằng những người có khiếu tính toán thiên bẩm thường nhanh trí ở mọi loại tri thức khác; còn ngay cả những kẻ chậm hiểu nhất, nếu đã được đào tạo về số học, cho dù họ có thể không có thêm được một lợi thế nào khác từ nó, cũng luôn luôn trở nên mau mắn hơn trước nhiều. Cậu có thấy thế không?
GLAUKŌN: Không thể chối cãi.
SŌKRATĒS: Trong khi thực ra, cậu sẽ không dễ gì tìm thấy một khoa học [526c] nào khó hơn nó, cũng không có nhiều bộ môn khó học và khó thực hành bằng nó.
GLAUKŌN: Tôi tin như vậy.
SŌKRATĒS: Vì tất cả những lý do này, số học là loại tri thức ở đấy những cá nhân có năng khiếu nhất phải được đào tạo; tuy nhiên ta cũng phải bắt đầu rất sớm, đồng thời không được bỏ dở nửa chừng.
GLAUKŌN: Nhất trí.
SŌKRATĒS: Vậy ta hãy lấy số học như một trong những bộ môn giáo dục của chúng ta. Và để tiếp tục, ta sẽ hỏi liệu một môn học khác gần gũi với nó cũng thích hợp với nền giáo dục của chúng ta chăng?
2 - Hình học
GLAUKŌN: Ý ông là hình học ư?
SŌKRATĒS: Chính xác.
GLAUKŌN: Rõ ràng là nó thích hợp chứ, [526d] ít ra là ở cái phần liên quan đến chiến tranh của hình học. Vì trong việc xây dựng quân trại, đánh chiếm một vị trí, đóng hoặc mở các tuyến phòng thủ của một đội quân, hay bất kỳ một hành động quân sự nào khác, dù là trong chiến trận thực tế hay trong một cuộc diễu hành, cách biệt giữa một tướng lĩnh có hiểu biết hoặc không biết chi về hình học, là một trời một vực.
SŌKRATĒS: Đúng. Nhưng trong mục đích đó, chỉ cần biết một chút hình học hay tính toán là đủ. Liệu cái phần tiên tiến hơn của hình học có hướng tới kỳ vọng cao xa của chúng ta phần nào chăng, [526e] nghĩa là có khiến cho tinh thần ta nhận thức được ý tưởng về cái Tốt tuyệt đối[13] dễ dàng hơn chăng, đấy mới là vấn đề. Và, như tôi đã nói, mọi khoa học đều phải hướng về mục đích này, buộc tinh thần phải hướng mắt về nơi hữu thể — hữu thể hoàn hảo nhất — này ngự trị, mà chiêm ngưỡng bằng mọi cách.
GLAUKŌN: Nhất trí.
SŌKRATĒS: Như vậy, nếu hình học buộc tinh thần phải chiêm ngưỡng hữu thể, bản chất của sự vật, môn học này liên quan tới chúng ta; nếu nó chỉ cho ta thấy cái biến dịch, chỉ ngừng lại ở những cái ngẫu nhiên, những thuộc tính của sự vật, nó không thích hợp cho mục đích của ta ư?
GLAUKŌN: Đúng thế. Như chúng ta đã khẳng định.
SŌKRATĒS: Vậy mà bất cứ ai có chút quen thuộc với hình học đều sẽ không phủ nhận rằng một quan điểm như vậy về khoa học này lại chẳng dính dáng gì tới thứ ngôn ngữ thường ngày [527a] của những người sử dụng nó.
GLAUKŌN: Sao lại như vậy?
SŌKRATĒS: Bởi vì thường họ chỉ nhìn từ quan điểm thực tiễn mà thôi. Họ luôn mồm nói nào khoanh vuông, nào nối dài, nào mở rộng… và những từ tương tự. Họ đánh đồng một cách hẹp hòi và lố bịch những thiết yếu của hình học với loại nhu cầu của cuộc sống hàng ngày, trong khi khám phá và tri thức[14] mới là đối tượng thực sự [527b] của toàn bộ môn học này.
GLAUKŌN: Chắc chắn.
SŌKRATĒS: Vậy thì ta nên thừa nhận thêm điều này nữa.
GLAUKŌN: Điều gì?
SŌKRATĒS: Rằng thứ tri thức mà hình học hướng tới là tri thức về cái vĩnh hằng[15], chứ không phải là cái thoáng qua, cái sinh ra rồi chết đi.
GLAUKŌN: Dễ thôi, vì đấy là sự thật.
SŌKRATĒS: Như vậy, cậu bạn quý ơi, hình học sẽ lôi kéo linh hồn ta hướng về chân lý, tạo ra trong nó tinh thần triết học, và nâng tầm nhìn của ta lên, thay vì cứ để nó là là trên những sự vật của hạ giới.
GLAUKŌN: Ít môn học có được hiệu lực như thế.
SŌKRATĒS: [527c] Như vậy, ta không thể ân cần đề xướng cho cư dân thành quốc tương lai của ta điều gì khác hơn là: đừng xem thường, mà phải trau dồi hình học bằng mọi cách. Nhất là khi nó còn có nhiều hiệu lực gián tiếp không nhỏ khác.
GLAUKŌN: Những gì vậy?
SŌKRATĒS: Trước hết, những lợi thế quân sự như cậu đã nói. Mặt khác, như kinh nghiệm cho thấy, bất cứ ai đã học hình học đều lĩnh hội nhanh chóng hơn so với những người không học, trong mọi ngành học thuật.
GLAUKŌN: Đúng thế. Có khác biệt rất lớn.
SŌKRATĒS: Vậy thì chúng ta sẽ quy định hình học như nhánh tri thức thứ hai mà giới trẻ của ta bắt buộc phải học chứ?
GLAUKŌN: Hãy quyết định như vậy.
Platōn,
Republic = République (khg 387-370),
VII, 521d-527c
[1] Nền giáo dục truyền thống của Hy Lạp đương thời gồm có hai phần chính là thể dục (gymnastikē) và văn hoá (mousikē). Vì thân thể là vật có sinh thành, tăng trưởng, suy thoái và hủy diệt, nên thể dục – lĩnh vực liên quan – được xem là thuộc thế giới biến dịch. Văn hóa, tuy nó có thể mang lại cho ta một số phẩm chất cao quý (sự tinh tế, đẹp đẽ, hài hòa, nhịp nhàng... được xem là cao quý hơn các tính chất trái ngược), cũng chỉ thuộc về thế giới biến dịch, bởi vì nó không giúp ta vươn lên thế giới khả tri, hiểu biết về hữu thể* và chân lý. Xem thêm, trong phần Triết Học hay mục Giáo Dục, các bài hữu quan khác, khi có thể tham khảo.
[2] Vì là thứ hiểu biết của tầng lớp lao động, thành phần xã hội thấp nhất (dưới tầng lớp chiến binh và tầng lớp giám hộ*). Trong thành quốc mẫu mực tương lai, Platōn muốn thành phần giám hộ* phải được trút bỏ gánh nặng của mọi hoạt động vật chất (nông, tiểu công, thương nghiệp), tuy thiết yếu cho đời sống cộng đồng và cho cơ thể, nhưng không xứng đáng với hoạt động của những con người tự do mà quan tâm chính phải là trật tự hài hòa của thành quốc và sức khoẻ tinh thần của mọi công dân.
[3] Đối tượng của mỗi kỹ thuật là một lĩnh vực trong thế giới cảm quan; đối tượng của mỗi khoa học là một lĩnh vực trong thế giới khả tri [xem 529b-c). Như được liệt kê ở đoạn sau [xem 533a], phần kỹ thuật bao gồm các nhóm: kỹ thuật tiêu khiển, kỹ thuật sản xuất và chế biến, kỹ thuật chăm sóc {Xem thêm về các nhóm kỹ thuật ở Gorgias, 463b, 501a; Stateman, 261-275e; Sophist, 222e]. Các khoa học được biết tới đương thời đều được phân tích ít nhiều trong suốt trích đoạn dịch đăng ở đây.
[4] Người Hy Lạp xưa phân biệt khoa học về tính toán (logismos – logistikē) và khoa học về con số (arithmos – arithmētikē), cái trước là phần sơ khai và sơ đẳng của cái sau. Ở đây, sự tính toán và số học can thiệp vào nhận thức, phân biệt một với hai, với ba, phân biệt một phẩm chất với một phẩm chất khác,... trong khi cảm giác khiến ta cảm nhận lẫn lộn như một, các phẩm chất khác nhau từ nhiều sự vật khác biệt như được mô tả bên dưới [523e đến 524c].
[5] Trong thần thoại Hy Lạp, Palamēdēs là nhân vật đã phát minh ra con số, chữ viết và nhiều trò chơi may rủi cổ đại (tên Palamēdēs đến từ palamē, gan bàn tay, biểu trưng bàn tay chế biến, sáng tạo). Trong bối cảnh cuộc chiến thành Troia, Agamemnōn là thống tướng và Palamēdēs là chiến tướng bên phía Hy Lạp; ở đây, Palamēdēs xuất hiện trong nhiều bi kịch của cả ba kịch tác gia lớn là Aiskhulos, Euripidēs, và Sophoklē; nhưng do phần lớn các vở kịch liên quan đều đã mất, giới học giả không tìm được cho phát biểu trên trong tác phẩm của Platōn một quy chiếu chính xác nào.
[6] Being (trái với becoming), Être (trái với devenir) = Hữu thể bất biến, vĩnh hằng (trái với cái có sinh, có tử), còn có thể gọi và dịch là Thực thể hay Thực hữu. Xem thêm trên trang muc Triết Học – Cổ Đại khi có thể tham khảo: Platōn, Hai Mô Hình Về Hiện Hữu & Ý (Mô) Thể Và Bản Sao. Theo Platōn, nội dung của giáo dục không nằm ở việc đưa hay đưa thêm một thứ hiểu biết (một môn học) vào trí tuệ, mà ở một sự «cải đạo», từ thế giới biến dịch lên cõi của hữu thể. Từ «periagōgē» mà Platōn dùng chỉ một tiến trình tái định hướng tinh thần, thứ hành động khiến trí tuệ quay từ thế giới cảm quan lên thế giới khả tri, từ cảnh tối tăm ra ánh sáng chân lý, từ sự ngu dốt lên tri thức thực sự. Xem thêm trên trang mục Huyền Thoại Và Ẩn Dụ khi có thể tham khảo: Platōn, Ẩn Dụ Những Người Sống Trong Hang Tối. Mặt khác, mọi môn học đểu chỉ là những hiểu biết chuẩn bị cho khoa biện chứng (triết học), khoa học duy nhất có khả năng đưa ta đến với thực thể và chân lý [531d-535a].
[7] Glaukōn nghỉ tới trường hợp của những sai lầm quen thuộc và dễ điều chỉnh do ảo giác; trong khi Sōkratēs nói về tính nước đôi không thể tránh của loại bằng chứng từ giác quan: cùng một vật thể có thể xuất hiện khác biệt cho hai người quan sát khác nhau, thậm chí cho cùng một người tuỳ theo nơi nhìn vào, vị trí nhìn, tâm thế. Nhưng nếu một vật có thể là vừa to, vừa nhỏ, vừa nặng, vừa nhẹ, vừa đẹp, vừa xấu, thì thế nào là to, nhỏ, nặng, nhẹ, đẹp, xấu?... Ngôn từ hàng ngày không còn ý nghĩa gì nữa. Do đó, triết gia phải nỗ lực nghĩ suy về bản chất của to, nhỏ, nặng, nhẹ, đẹp, xấu..., ngoài những sự vật tồn tại mang các thuộc tính này, tức là về tự thân các ý niệm to, nhỏ, nặng, nhẹ, đẹp, xấu... mà Platōn gọi là các Ý thể (Ideas = Idées) hay Mô thể (Forms = Formes) này [523e-524a].
[8] Tiềm ẩn trong lối cật vấn kẻ đối thoại của Sōkratēs, «bối rối là khởi điểm của triết học» được phát biểu ở đây một cách công khai và xác quyết: chính sự bối rối của tinh thần trước những bất định và không chính xác của loại chứng cớ cảm quan đã buộc tinh thần phải quan niệm hiện thực của sự vật bằng chỉ trí tuệ mà thôi. Đối chiếu với một quan điểm phổ biến khác: «triết học bắt đầu từ sự tò mò».
[9] Như khi ta nhìn, cùng một lúc, các sự vật trong tương quan lớn nhỏ với nhau, hoặc nhìn nhiều bộ phận (hay phẩm chất) của cùng một vật thể, mà chỉ dựa trên thị giác thuần túy, chứ không nhờ tới sự phân biệt hỗ trợ của lý trí [524c-525b]
[10] Đặc trưng của một Ý thể (Mô thể) — ở đây, Đơn vị — là tính đơn nhất, tính không có mâu thuẫn của nó, trái ngược với những sự vật thuộc thế giới cảm giác luôn luôn có nhiều mặt. Từ ý niệm đơn vị, ta có thể phân biệt thêm ý niệm bản số (cardinal number, các con số một, hai, ba... tự thân = các tập hợp có một, hai, ba đơn vị); từ bản số ta có thể phân biệt thêm những bộ số như bộ đơn (monad = monade), bộ đôi (dyad = dyade), bộ ba (triad = triade)... là các tập hợp mỗi thứ có một, hai, ba... sự vật có thể trông thấy, sờ mó, đã được đánh số hay đếm (con chó, cây táo, viên gạch,...). Và khi nghiên cứu số học, nhà toán học chỉ quan tâm đến các bản số nhằm tìm hiểu bản chất và những thuộc tính của chúng, bỏ qua những sự vật được chúng đánh số hay đếm.
[11] Phân chia là để trí tuệ biến mất trong vô tận, thay vì nâng nó lên ý niệm đơn vị và ý niệm về một thực thể đơn giản và hữu hạn như ý niệm bản số (để có thể phân biệt nó với một bản số khác), và hơn thế nũa, như ý niệm Ý thể (Mô Thể) mà khoa số học muốn trí tuệ của triết gia vươn tới.
[12] «Chúng ở đâu, những đơn vị hoàn toàn bình đẳng, bất biến và không thể phân chia»? Platōn cho rằng chúng «ở» thế giới khả tri, cùng với những cái khả niệm (Ý thể hay Mô thể) khác, nhưng lại hầu như luôn luôn tránh phát biêu về «nơi (chốn)» đó bằng thứ ngôn từ có tính cách định vị trong không gian ở các đối thoại lớn trong thời lập thuyết chính của ông (385-370). Trong Republic (République) sự phân định thế giới khả tri với thế giới cảm quan được thể hiện qua ngôn ngữ trật tự (cấp bậc) trên/dưới: cái khả niệm «đứng trên (above, beyond)» cái trông thấy, cái Tốt (xem ct 13 bên dưới) đứng trên cái hiện là (epékeina tēs ,ousías = beyond being); ở đây từ «trên» mang tính nhận thức, bản chất, chứ không mang tính không gian; đồng thời, sự thoát ly ra khỏi hang đá trong ẩn dụ Những Người Sống Trong Hang Tối phải được hiểu là sự kiện từ thế giới cảm quan vươn lên thế giới khả tri vậy [509d–511e; 514a–517b]. Trong Phaedo (Phédon), sự phân biệt các Ý (Mô) Thể với những sự vật trong đời thường (các bản sao) được xác định thông qua thứ ngôn ngữ phẩm (bản) chất: các vật thể là hữu hình, luôn luôn biến đổi, chuyển dịch, tiếp xúc được bằng giác quan; ngược lại, các Ý (Mô) Thể là vô hình, bất biến, phi vật chất – vì vậy, không thể nào định vị được trong không gian [79a–84b]. Chỉ trong Phaedrus (Phèdre), Platōn mới dùng từ «topos» khi nói rằng thế giới khả tri là «chốn bên kia cõi trời (huperouranios topos = place beyond the heavens)», «nơi» tinh thần ta chiêm ngưỡng Hiểu Biết, Công Lý, Dũng Cảm, Tiết Độ tự thân, và Hữu Thể thực hữu (ousía ontōs oũsa = Being that truly is), nhưng ông cũng đã thận trọng đóng khung nó trong loại ký sự huyền thoại chứ không phải vũ trụ học [247c–e]. Tóm lại, trong ngữ cảnh thế giới khả tri, giới học giả đời sau đều hiểu rằng các từ như «ở, nơi, chốn» của Platōn đều thuộc loại ngôn từ tượng hình, biểu trưng, hơn là vật lý, hiện thực.
[13] Trong tiếng Hy Lạp, agathos là tính từ được dùng để chỉ hoặc cái đáng được ca ngợi (epainetos), hoặc cái đáng được trân trọng (timios), và to agathon là danh từ chỉ cái mà sự sở hữu mang lại cho ta hạnh phúc (eudaimonia), cái vốn là cứu cánh tối hậu mà mọi người đều theo đuổi. Trong triết học Hy Lạp, Pythagoras là người đầu tiên đặt to Agathon (Cái Tốt) ở đỉnh cao nhất trên bậc thang hữu thể, mở ra truyền thống xem Cái Tốt như một nguyên lý siêu hình – giá trị nguyên thủy, linh thiêng, hoàn hảo, tuyệt đối. Ở đây, ta thấy ảnh hưởng của Pythagoras trên Platōn: cái Tốt là Mô thể cao nhất, nền tảng của mọi Ý thể khác (cái Đúng, cái Lành, cái Đẹp), của hiện thực và vạn vật; cái Tốt tương ứng với Mặt Trời của thế giới cảm quan trong ngôn ngữ ẩn dụ, với Thượng Đế trong các tôn giáo hữu thần. Tuy nhiên, trong thử thách quan niệm thành quốc lý tưởng này của Platōn vẫn đậm đà bóng dáng Sōkratēs: nơi con người cũng có cái Tốt cho linh hồn (hiểu biết, công chính, dũng đảm, tiết độ), và cái Tốt cho thân xác (sức khoẻ, sự giàu sang, danh dự), được xác định theo một trật tự trên dưới rõ rệt. Xem thêm trên trang mục Triết Học - Cổ Đại, khi có thể tham khảo: Luc Brisson & Jean-François Pradeau, Cái Tốt Theo Platōn.
[14] Hình học tự nó đã là một phát minh và là cơ sở cho nhiều khái niệm toán học khác, bao gồm hình học giải tích, hình học đại số, và các phép toán vi tich phân chẳng hạn. Trong hính học, các định lý đều là những khám phá; và trong số này cái nổi tiếng nhất cổ đại, vì đã gây bối rối nhất cho các nhà toán học đương thời là định lý Pythagoras (a2 + b2 = c2), theo đó khi một tam giác có hai cạnh kề (a, b) bằng một, thì cạnh huyền (c) của nó sẽ có độ dài bằng căn bậc hai của hai (√2), không thể biểu diễn dưới dạng một phân số đơn giản của các số nguyên, mà có vô số số thập phân. Khám phá này được truyền thống gán cho Hippasos xứ Metapontum, một học trò của Pythagoras; và vì nó đã thách thức niềm tin của giáo phái vào một thế giới thần số, nên ban đầu các môn đồ khác của giáo phái đã phẫn nộ tới mức họ toan ném Hippasos xuống biển, còn chính Pythagoras cũng cho rằng đây là điều «không thể nói ra». Nhưng chính nhờ khám phá hình học này mà nay ta đều biết rằng số thực có hai loại là hữu tỉ và vô tỉ (xem thêm các mục từ liên quan trên Wikipedia).
[15] Nhà hình học tiết lộ, tức là chỉ ra, những quan hệ vĩnh cửu của trật tự và sự hài hòa, và vượt lên trên chúng, sức mạnh thiêng liêng của Cái Tốt (xem ct 13 ở trên). Trong Timaeus, Hoá Công đã tạo ra thế giới hữu hình bằng cách chiêm nghiệm những Ý (Mô) Thể, nghĩa là đã tạo ra nó như một nhà hình học. Xem trên trang mục Vật Lý & Hoá Học khi có thể tham khảo: Platōn, Vật Chất» & Không Gian và Luc Brisson, Jean-François Pradeau, Hoá Công & Khōra.