TOÁN HỌC VÀ LÔ-GIC HỌC
(1919)

Tác giả : Bertrand Russell*

Người dịch : Nguyễn Văn Khoa

*

Để bạn đọc dễ theo dõi trích đoạn này^[1], chúng tôi đã thêm vào bản dịch một số tiểu tựa và chú thích không có trong nguyên bản.

*

I - LÔ-GIC HỌC & TOÁN HỌC LÀ HAI HAY MỘT MÔN HỌC?

Về mặt lịch sử, toán học và lô-gic học là hai ngành hoàn toàn khác biệt. Toán học được kết nối với khoa học, lô-gic học với tiếng Hy Lạp. Nhưng cả hai đều đã phát triển trong thời hiện đại: lô-gic học trở thành toán học hơn, và toán học trở thành lô-gic học hơn. Hệ quả là, thời nay, ta hoàn toàn không thể phác hoạ một ranh giới giữa hai môn này; trong thực tế, hai ngành này là một. Chúng khác nhau như một cậu bé với một người đàn ông: lô-gic học là tuổi trẻ của toán học, và toán học là thời trưởng thành của lô-gic học. Quan điểm này gây phẫn nộ cho các nhà lô-gic học – những người không có khả năng theo dõi một mảnh lý luận ký hiệu sau bao thời gian dành ra để nghiên cứu các văn bản cổ điển, và cho các nhà toán học – những người từng học một kỹ thuật nhưng chưa hề bận tâm tìm hiểu ý nghĩa hoặc thấy cần biện minh cho nó. May thay, cả hai loại người này bây giờ mỗi ngày một  hiếm. Rất nhiều công trình toán học hiện đại rõ ràng là nằm trên đường ranh với lô-gic học, và rất nhiều công trình lô-gic học hiện đại mang tính ký hiệu và hình thức^[2], đến mức là sự tương quan rất chặt chẽ giữa lô-gic học và toán học đã trở thành hiển nhiên đối với mọi sinh viên được đào tạo. Tất nhiên, bằng chứng về sự đồng nhất của chúng là vấn đề chi tiết: bắt đầu bằng những tiền đề được thừa nhận một cách phổ quát thuộc về lô-gic học, đạt tới những kết quả cũng rõ ràng như tiền đề bằng suy diễn thuộc về toán học, và chúng ta đều thấy rằng không có điểm nào từ đấy ta có thể vẽ ra một đường ranh sắc nét, với lô-gic học ở bên trái và toán học ở bên phải. Nếu vẫn còn có những người không thừa nhận sự đồng nhất của lô-gic học với toán học, chúng tôi [B. Russell & A. N. Whitehead] thách thức họ chỉ ra điểm nào, trong các định nghĩa và suy diễn liên tiếp của Principia Mathematica^[3], họ có thể xem là nơi lô-gic học kết thúc và là nơi toán học bắt đầu. Khi đó, hiển nhiên rằng bất kỳ câu trả lời nào cũng đều là tùy tiện cả.

Bắt đầu từ loại số tự nhiên, chúng tôi định nghĩa «số đếm (cardinal number)» và chỉ ra cách khái quát hóa quan niệm số, rồi phân tích các quan niệm bao hàm trong định nghĩa, cho đến khi chúng tôi tự nhận thức rằng mình đang vận dụng các nguyên tắc cơ bản của lô-gic học. Trong một phương pháp xử lý tổng hợp, suy diễn, các nguyên tắc lô-gic cơ bản này xuất hiện trước, và người ta chỉ tiến đến những số tự nhiên sau một lộ trình dài. Một cách xử lý như vậy, mặc dù về mặt hình thức là đúng hơn cách chúng tôi áp dụng, nhưng lại gây khó khăn hơn cho người đọc, bởi vì các khái niệm và mệnh đề lô-gic học cuối cùng, mà nó dùng để bắt đầu, đều còn là xa lạ, không quen thuộc với độc giả so với loại số tự nhiên. Vì vậy, chúng đại diện cho biên giới hiện tại của tri thức, bên kia đường ranh vẫn là những điều chưa biết, và sự thống trị của sự hiểu biết trên chúng vẫn chưa phải là an toàn.

Người ta thường nói rằng toán học là khoa học về «lượng (quantity)». «Lượng» là một từ mơ hồ, để tiện lập luận, ta có thể thay nó bằng từ «số (number)». Mệnh đề cho rằng toán học là khoa học về số sẽ không đúng, theo hai nghĩa khác nhau. Một mặt, có những nhánh toán học được công nhận là không liên quan gì đến số — tất cả phần hình học không sử dụng tọa độ (co-ordinates) hoặc phép đo (measurement) chẳng hạn: cho tới thời điểm mà tọa độ được đưa vào, hình học xạ ảnh (projective geometry) và hình học mô tả không liên quan gì đến «số», hoặc thậm chí tới «lượng» theo nghĩa là có hơn và kém. Mặt khác, thông qua định nghĩa về số đếm, thông qua lý thuyết quy nạp và quan hệ truyền lại (ancestral relations)^[4], thông qua lý thuyết tổng quát về chuỗi, và thông qua định nghĩa các phép toán số học, ta đã có thể khái quát hóa nhiều điều mà trước đây chỉ được chứng minh trong kết nối với các con số. Kết quả là những gì trước đây là nghiên cứu đơn thuần về số học, nay đã được chia thành nhiều khu vực riêng biệt, không cái nào đặc biệt liên quan tới các con số cả. Những thuộc tính cơ bản nhất của số liên quan đến quan hệ một-một (one-one, song ánh), và quan hệ đồng dạng (similarity) giữa các tập hợp. Phép cộng liên quan tới việc xây dựng các tập hợp loại trừ lẫn nhau, mỗi cái đồng dạng với một bộ các tập hợp không được biết là loại trừ lẫn nhau. Phép nhân được hợp nhất trong lý thuyết về «phép chọn (selections)», tức là về một loại quan hệ một-nhiều (one-many) nào đấy. Tính hữu hạn được hợp nhất trong nghiên cứu chung về các quan hệ truyền lại*, mang tới toàn bộ lý thuyết về quy nạp toán học. Những thuộc tính thứ tự của các loại dãy số (numbers-series) khác nhau, và những yếu tố của lý thuyết về tính liên tục của các hàm (theory of continuity of functions) và những giới hạn của các hàm (limits of functions), có thể được tổng quát hóa để không còn liên quan tới bất kỳ quy chiếu cần thiết nào tới các con số cả. Trong mọi lý luận hình thức, tổng quát hóa đến mức tối đa là một nguyên tắc, bởi vì qua đó ta đảm bảo rằng một quá trình suy diễn đã cho sẽ có những kết quả áp dụng được rộng rãi hơn; như vậy, khi tổng quát hóa lý luận của số học, chúng ta đang chỉ tuân theo một mệnh lệnh được thừa nhận phổ biến trong toán học. Và khi tổng quát hóa như thế, thực ra chúng ta đã tạo nên một bộ những hệ thống suy diễn mới, trong đó số học truyền thống đã được hoà tan và mở rộng tức thì; thế nhưng, cho rằng bất kỳ một cái nào trong các hệ thống mới này — lý thuyết về các phép chọn, chẳng hạn — là thuộc về lô-gic học hoặc thuộc về số học đều hoàn toàn là tùy tiện, chứ không thể được quyết định một cách thuần lý.

II - HÌNH THỨC

2.1 – Cái Toán học và Lô-gic học cùng có chung

Do đó, chúng ta phải đối mặt với câu hỏi: chủ đề này — cái có thể được gọi một cách không phân biệt là toán học hoặc lô-gic học — là gì? Liệu chúng ta có cách nào định nghĩa nó chăng?

Một số đặc điểm của chủ đề là rõ ràng. Để bắt đầu, trong chủ đề này, chúng ta không xử lý những sự vật cụ thể hay các tính chất cụ thể, mà đang xử lý một cách hình thức cái có thể nói về bất kỳ sự vật nào, hay bất kỳ tính chất nào. Chúng ta đang sẵn sàng để nói rằng một và một là hai, chứ không phải Sōkratēs và Platōn là hai, bởi vì trong tư cách và khả năng là nhà lô-gic học hay nhà toán học thuần túy, ta chưa bao giờ nghe nói tới Sōkratēs và Platōn. Một thế giới ở đấy không có những cá nhân như vậy sẽ vẫn là một thế giới trong đó một và một là hai. Với tư cách là nhà toán học hay nhà lô-gic học thuần túy, ta không được đề cập tới bất cứ cái gì, bởi vì, nếu ta làm như vậy, chúng ta đã đưa vào đấy một cái gì đó không liên quan và không hình thức. Ta có thể làm rõ điều này bằng cách áp dụng nó vào trường hợp của tam đoạn luận. Lô-gic học truyền thống nói: «Mọi con người đều là phải-chết (mortal = mortel); Sōkratēs là một con người; do đó, Sōkratēs là phải-chết»^[5]. Trước tiên, rõ ràng điều chúng ta muốn khẳng định là các tiền đề bao hàm kết luận, chứ không phải là cả các tiền đề lẫn kết luận đều đúng trong hiện thực; ngay cả thứ lô-gic học truyền thống nhất cũng chỉ ra rằng chân lý trong thực tế của các tiền đề chẳng liên quan gì tới lô-gic học. Vì vậy, thay đổi đầu tiên cần được thực hiện trong tam đoạn luận truyền thống ở trên là phát biểu nó dưới dạng: «Nếu mọi con người đều là phải-chết và Sōkratēs là một con người, thì Sōkratēs là phải-chết». Bây giờ ta có thể thấy nó đã mang được cái ý định là chuyển tải rằng lập luận có giá trị bởi hình thức của nó, chứ không do các từ cụ thể xuất hiện trong đó. Nếu trong số các tiền đề, chúng ta đã quên nói «Sōkratēs là một con người», thì ta đã có một lập luận phi hình thức, và nó chỉ có thể được thừa nhận bởi vì Sōkratēs trong thực tế là một con người, nhưng với trường hợp này, ta không thể khái quát hoá lập luận. Nhưng khi lập luận là hình thức như ở trên, thì không có gì tuỳ thuộc vào các từ xuất hiện trong đó. Như vậy, chúng ta có thể thay thế con người bằng α, phải-chết bằng β và Sōkratēs bằng x; trong đó α và β là bất kỳ tập hợp nào, và x là bất kỳ cá nhân nào. Lúc đó, chúng ta đi tới phát biểu: «Cho dù x, α và β có thể có những giá trị nào đi nữa, nếu mọi cái α đều là β, và x là một α, thì x là một β»; nói cách khác, «hàm mệnh đề^[6] “nếu mọi cái α đều là β và x là một α, thì x là β” là luôn luôn đúng». Ở đây, rốt cuộc  chúng ta có một mệnh đề lô-gic học — cái chỉ được gợi ý bởi phát biểu truyền thống về Sōkratēs, con người và tính phải-chết.

Rõ ràng rằng, nếu lý luận hình thức là điều ta nhắm tới, thì cuối cùng chúng ta sẽ luôn luôn tiến đến loại phát biểu như trên, trong đó không sự vật hoặc thuộc tính trong hiện thực nào được đề cập tới; điều này xảy ra thông qua ý muốn duy nhất là ta sẽ không lãng phí thời gian để chứng minh cho một trường hợp cá biệt điều gì có thể được chứng minh một cách phổ quát. Thực là nực cười nếu phải đi xuyên suốt một lập luận dài về Sōkratēs, rồi sau đó lại tiếp tục đi xuyên suốt chính xác cùng một lập luận ấy về Platōn. Nếu luận cứ của ta là một luận cứ đúng cho mọi con người chẳng hạn, chúng ta sẽ chứng minh nó là đúng cho «x», với giả thuyết «nếu x là con người». Với giả thuyết này, lập luận sẽ giữ nguyên giá trị giả định của nó, ngay cả khi x không phải là một con người. Bây giờ ta sẽ thấy rằng lập luận của chúng ta vẫn sẽ đúng nếu như, thay vì giả sử x là một con người, chúng ta giả định nó là một con khỉ hoặc một con ngỗng hoặc một ông Thủ Tướng^[7]. Như vậy, chúng ta sẽ không lãng phí thời gian lấy «x là một con người» làm tiền đề, mà sẽ lấy «x là một α», trong đó α là bất kỳ một tập hợp cá thể nào, hoặc «ψx» trong đó ψ là bất kỳ một hàm mệnh đề nào thuộc một loại hình nào đó đã cho. Như vậy, sự vắng mặt của mọi đề cập tới các sự vật hoặc tính chất đặc thù, trong lô-gic học hoặc toán học thuần túy, đều là kết quả tất yếu của sự kiện công trình nghiên cứu này là, đúng như chúng ta nói, «thuần túy hình thức».

2.2 – Yếu tố cấu thành một mệnh đề lô-gic

Tại điểm này, chúng ta phải đối mặt với một vấn đề dễ nêu lên hơn là giải quyết. Đấy là vấn đề: «Các yếu tố cấu thành của một mệnh đề lô-gic là gì?» Tôi không biết câu trả lời, nhưng đề nghị giải thích vấn đề đã nảy sinh như thế nào.

(Giả sử) ta lấy mệnh đề «Sōkratēs là trước Aristotelēs». Ở đây, rõ ràng là, giữa hai từ, chúng ta có một quan hệ, và các yếu tố cấu thành mệnh đề (cũng như của sự kiện tương ứng) chỉ đơn giản là hai từ và mối quan hệ, tức là Sōkratēs, Aristotelēs, và trước. (Tôi bỏ qua thực tế là cả Sōkratēs lẫn Aristotelēs đều không đơn giản; cả sự kiện cái có vẻ là tên của họ thực sự là những mô tả bị cắt xén nữa. Cả hai sự kiện này đều không liên quan tới vấn đề hiện tại.) Chúng ta có thể trình bày cái dạng tổng quát của những mệnh đề như vậy là «x R y», nó có thể được đọc là «x có quan hệ R với y». Dạng tổng quát này có thể xảy ra trong các mệnh đề lô-gic học, nhưng không có trường hợp cụ thể nào của nó có thể xảy ra. Liệu chúng ta có nên suy ra rằng, tự nó, bản thân cái hình thức tổng quát cũng là một thành tố của các mệnh đề lôgic như vậy chăng?

Cho một mệnh đề, chẳng hạn như «Sōkratēs là trước Aristotelēs», chúng ta có một số thành tố nhất định, và cũng có một hình thức nhất định. Nhưng cái hình thức tự nó không phải là một thành tố mới; nếu nó là một thành tố mới, ta phải có một hình thức mới để bao gồm cả hai, cả nó lẫn các thành tố kia. Trên thực tế, chúng ta có thể đổi mọi thành tố của một mệnh đề thành các biến, trong khi vẫn giữ nguyên hình thức. Đây là điều ta làm khi sử dụng một lược đồ như «x R y», công thức đứng thay cho bất kỳ cái nào trong một nhóm mệnh đề nào đấy, cụ thể là những cái khẳng định các quan hệ giữa hai từ. Chúng ta có thể tiến đến các khẳng định tổng quát, chẳng hạn như «x R y đôi khi là đúng» — tức là có những trường hợp mà quan hệ giữa hai bên là đúng. Khẳng định này sẽ thuộc về lô-gic học (hoặc toán học) theo nghĩa mà ta đang sử dụng từ. Thế nhưng trong khẳng định này, chúng ta không đề cập tới bất kỳ một sự vật đặc thù hay quan hệ đặc thù nào cả; không một sự vật hoặc quan hệ cụ thể nào có thể đi vào một mệnh đề của lô-gic học thuần túy. Cho ta, chỉ còn những hình thức thuần túy như thành tố khả dĩ duy nhất của các mệnh đề lô-gic học.

Tôi không muốn khẳng định một cách triệt để rằng các hình thức thuần túy — như dạng «x R y», chẳng hạn — thực sự đi vào các mệnh đề thuộc loại mà ta đang xem xét [coi thuộc lô-gic học hoặc toán học]. Vấn đề phân tích các mệnh đề như vậy là một khó khăn, với nhiều cân nhắc đối chọi ở bên này hoặc bên kia. Chúng ta không thể lao vào câu hỏi này ngay bây giờ, nhưng ta có thể chấp nhận, như một tiếp cận gần đúng đầu tiên, cái quan điểm cho rằng hình thức chính là những gì bước vào các mệnh đề lô-gic học như thành tố của chúng. Và chúng ta có thể giải thích (mặc dù không thể đưa ra định nghĩa hình thức) cái mà ta hiểu là «hình thức» của một mệnh đề như sau:

«Hình thức» của một mệnh đề là cái vẫn không thay đổi trong mệnh đề, khi mỗi thành tố của mệnh đề được thay thế bằng một thành tố khác.

Do đó, «Sōkratēs là sớm hơn Aristotelēs» có cùng dạng với «Napoléon là vĩ đại hơn Wellington», dù mọi thành tố của hai mệnh đề đều đổi khác.

Vì vậy, chúng ta có thể đặt ra, như một đặc trưng cần (mặc dù không đủ) của các mệnh đề lô-gic học hoặc toán học, là chúng phải được cấu tạo sao cho, từ một mệnh đề không chứa các biến nào — nghĩa là không có các từ như mọi hay tất cả (all), vài (some), một (a), cái (the), v. v… —, bằng cách đổi mỗi thành tố thành một biến, và khẳng định rằng kết quả là luôn luôn đúng hoặc đôi khi đúng, hoặc là luôn luôn đúng đối với một số biến, ta có thể đạt được kết quả là nó đôi khi đúng đối với những mệnh đề khác, hoặc bất kỳ một biến thể nào của các hình thức này. Một cách khác để phát biểu điều tương tự là nói rằng lô-gic học (hoặc toán học) chỉ quan tâm đến các hình thức, và chỉ quan tâm đến chúng theo kiểu xác định rằng chúng là luôn luôn hoặc đôi khi đúng — với tất cả mọi hoán vị của